Preguntas y Discusión sobre la Inversa de la Transformación de Laplace - 1
Búscalo \( h(t) \) de \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)
Discusión:
Necesito hacer la transformada inversa de Laplace. A continuación se detallan los pasos que puedes seguir para conseguirlo \( h(t) \) de la función de transferencia \( H(s) \):
Paso 1: Factoriza el denominador de \( H(s) \)
\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]
Paso 2: UConvierte la fracción a una forma de fracción parcial más simple para que sea fácil determinar la inversa
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]
\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]
\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
Paso 3: Determinación de coeficientes
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
Comparando los coeficientes obtenemos:
- \(1 = A + B\)
- \(0 = 4A + 2B + C\)
- \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)
De \(1 = A + B\), obtenemos \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)
De \(0 = 4A + 2B + C\), obtenemos \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)
Paso 4: Fracciones parciales
Sustitución \(A = 0\), \(B = 1\), Y \(C = -2\) en el \( H(s) \):
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
Paso 5: Inversa de la transformada de Laplace
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]
Maka:
\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]
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